10 प्रश्नव्याख्या सहितआरएएस, पटवारी, वीडीओ एवं राजस्थान की अन्य परीक्षाओं के लिए
बहुपद x² − 5x − 24 के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए: 1. (x − 8) इसका एक गुणनखंड है। 2. (x − 3) इसका एक गुणनखंड है। उपर्युक्त कथनों में से कौन-सा/से सही है/हैं?
उत्तर: (1) केवल 1
व्याख्या
x² − 5x − 24 = (x − 8)(x + 3)। अतः (x − 8) गुणनखंड है, परंतु दूसरा गुणनखंड (x + 3) है, (x − 3) नहीं।
द्विघात समीकरण x² − 7x + k = 0 के मूलों का अंतर 3 है। k का मान क्या है?
उत्तर: (2) 10
व्याख्या
मूलों का योग = 7 तथा अंतर = 3, अतः मूल 5 और 2 हैं; k = मूलों का गुणनफल = 10।
यदि log₁₀ 2 = 0.3010 तथा log₁₀ 3 = 0.4771 हो, तो log₁₀ 72 का मान क्या है?
उत्तर: (3) 1.8572
व्याख्या
72 = 2³ × 3², अतः log 72 = 3(0.3010) + 2(0.4771) = 0.9030 + 0.9542 = 1.8572।
x का/के कौन-सा/से मान समीकरण log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3 को संतुष्ट करता है/करते हैं?
उत्तर: (4) केवल 3
व्याख्या
log₂[(x − 1)(x + 1)] = 3 से x² − 1 = 8, अतः x = ±3। लघुगणक के लिए धनात्मक संख्या आवश्यक है, अतः x = −3 अस्वीकार्य है; केवल x = 3।
k के किस मान के लिए बहुपद 2x³ + 5x² + kx − 3, (x + 3) से पूर्णतः विभाज्य है?
उत्तर: (2) −4
व्याख्या
गुणनखंड प्रमेय से (x + 3) तब विभाजित करता है जब p(−3) = 0: 2(−27) + 5(9) + k(−3) − 3 = −54 + 45 − 3k − 3 = −12 − 3k = 0, अतः k = −4। भाग से जाँच: 2x³ + 5x² − 4x − 3 = (x + 3)(2x² − x − 1)। k = 4 चिह्न की भूल (−3k को +3k लिखने) से आता है।
log₁₀ 2 को a तथा log₁₀ 3 को b मानने पर log₁₀ 15 का मान a और b के पदों में होगा:
उत्तर: (3) 1 + b − a
व्याख्या
15 को 2, 3 और 10 से तोड़ें: 15 = (3 × 10)/2, अतः log 15 = log 3 + log 10 − log 2 = b + 1 − a। मानों से जाँच: 0.4771 + 1 − 0.3010 = 1.1761 = log 15। विकल्प a + b, log 6 है, log 15 नहीं, क्योंकि 2 × 3 = 6, और 1 + a − b = log (20/3) है।
यदि a + b = 7 और ab = 10 है, तो a³ + b³ का मान क्या है?
उत्तर: (2) 133
व्याख्या
a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 343 − 3 × 10 × 7 = 343 − 210 = 133 (जाँच: a और b 2 तथा 5 हैं और 8 + 125 = 133)। 343 केवल (a + b)³ है और 553 में उस पद को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है।
यदि समीकरण x² − 8x + k = 0 का एक मूल दूसरे मूल का तीन गुना है, तो k का मान क्या है?
उत्तर: (1) 12
व्याख्या
मूल a और 3a मानें। योग 4a = 8, अतः a = 2 और मूल 2 तथा 6 हैं; गुणनफल k = 2 × 6 = 12। 16 बराबर मूलों (4 और 4) के लिए k है, 1 : 3 अनुपात वाले मूलों के लिए नहीं।
दो संख्याओं x और y का अंतर 4 (x − y = 4) और उनका गुणनफल xy = 21 है। x² + y² का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: (1) 58
व्याख्या
x² + y² = (x − y)² + 2xy = 16 + 42 = 58। 16 और 21 को जोड़ने पर 37 आता है और 100, (x + y)² का मान है।
समीकरण 2x² − 5x − 12 = 0 के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए: 1. इसके मूलों का गुणनफल −6 है। 2. इसके मूलों का योग −5/2 है। 3. इसका एक मूल 4 है। उपर्युक्त में से कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर: (3) केवल 1 और 3
व्याख्या
ax² + bx + c = 0 के मूलों का गुणनफल c/a = −12/2 = −6 और योग −b/a = 5/2 होता है, −5/2 नहीं, अतः कथन 2 गलत है। समीकरण के गुणनखंड (x − 4)(2x + 3) = 0 हैं, इसलिए मूल 4 और −3/2 हैं।